[CAE 입문용어] 비선형해석(Nonlinear Analysis)

비선형해석 거동 그래프 - midasNFX

비선형 해석이란, 물체가 하중이나 온도와 같은 외부 자극에 대해 비선형적(nonlinear) 거동을 나타내는 경우, 이 거동을 수치해석(numerical analysis)을 통해 그 해답을 구하는 것을 말한다. 비선형적 거동은 외부 자극에 대하여 비례적인 관계를 보이지 않기 때문에 선형해석(linear analysis)에 비해 어렵고 긴 계산시간을 요구한다. 선형 거동을 나타내는 문제는 외부 자극과 물체의 거동이 직선적인 관계를 나타내기 때문에, 이 직선의 기울기만 안다면 이 직선과 외부 하중이 만나는 교점을 찾기만 하면 물체의 거동을 구할 수 있다. 다시 말해 단 한번의 계산으로 수치결과를 구할 수 있다.

→ 선형해석은

선형해석 거동 그래프 -midasNFX

위의 선형해석 거동 그래프와 같이 선형적인 모습을 띄고 있습니다. 그래서 어떠한 값을 넣어도 비례한 결과값을 도출할 수 있으며 간단한 해석은 손으로 계산할 수 있습니다. 하지마 비선형해석은 곡선을 나타내고 있기 때문에 어떠한 결과값을 도출하기 위한 수많은 기울기값을 계산하는 것 조차 버겁죠. 앞 포스팅 [비선형성]에서 이보다 자세히 설명하고 있지만 간다히 설명하자면 함수에 미지수가 포함되어 있어 외부에서 주는 자극이나 변화 등에 의해 수치적을 계산한 것을 비선형해석이라고 합니다. 그 결과값들을 계산해야 하기 때문에 많은 시간을 할애해야 합니다.

Nonlinear Static - midasNFX

하지만 비선형적 거동을 나타내는 경우에는 물체의 거동이 외부 자극에 대하여 곡선적인 변화를 나타내기 때문에 곡선 상의 각 지점에서의 기울기는 각기 다르다. 따라서 물체의 초기 예상치(initial guess)에 해당하는 곡선 상의 기울기로 중간 단계의 해답을 구한 다음, 다시 이 중간 단계의 해답에 해당하는 기울기로 다음 중간 단계의 해답을 구하는 반복계산 방법(iterative method)을 적용해야 한다. 다시 말해 선형해석에서와 같이 단 한번의 계산으로 정확한 해답을 구할 수 없다는 의미다.

→ 간단하게 설명하자면, ABC BDE DFG FHI HJK JLM LNO ... 이런 느낌입니다. 다만 처음 해답을 구할 때의 입력 값은 예상한 값을 입력해서 구하는 것이죠. 그렇게 해서 결과값이 나온다면 처음 예상했던 '초기 예상치'의 원래 값을 구합니다. 이만큼 비선형 해석을 계산하기 위해서는 많은 계산과 시간이 필요합니다. 그래서 컴퓨터로 빠르게 계산을 하는 것이며 컴퓨터는 정확한 계산을 할 수 없기 때문에 수치적인 방법으로 계산을 합니다.

Newton-Raphson method - midasNFX

비선형 해석을 위한 대표적인 반복계산 기법으로 뉴튼-랩슨 기법(Newton-Raphson method)이 있다. 물체가 비선형적 거동을 나타내는 대표적인 예로 물체의 재료 물성치(material property)가 구하고자 하는 거동에 따라 변하는 경우, 물체의 거동에 따라 물체의 형상이나 하중이 변하는 경우, 그리고 물체의 거동에 따라 물체의 경계조건(boundary condition)이 변하는 경우가 있다.

→ 비선형 해석 중 반복계산 횟수를 최소화 시키기 위해 매 반복계산 시 정답에 도달하는 가장 빠른 방향으로 답을 구하는 기법을 뉴튼-랩슨 기법이라고 합니다. 물체가 비선형적 거동을 나타내느 대표적인 예로 3가지를 들었는데 이는 전 포스팅 [비선형성]에서 언급한 재료비선형, 기하비선형, 경계비선형을 문장으로 푼 이야기 같습니다. 저의 전 포스팅을 살펴보면 보다 자세하게 이해하실 수 있을 것 같습니다.

 

기계설계도면 공차(Tolerance) 기입 - Quora

비선형 해석에서 정확한 해답을 구하기 위해서는 무한 번의 반복계산이 필요하기 때문에, 허용 가능한 오차(error) 범위를 미리 지정해 주어야 한다. 이것을 허용오차(allowable error)라고 부르고, 이 값은 해석의 목표에 따라 해석자가 주관적으로 결정하는 것이 일반적이다.

→ 제대로된 예시인 지는 잘 모르겠지만, 일단 설명하겠습니다. 기계설계에서 도면을 작업할 때 가공 시 허용하는 공차가 있죠. 왜냐하면 가공하는 방법에 따라 정밀도에 차이가 있기 때문이죠. 이 때 그 공차 값을 얼마나 허용하는지 작성해야 합니다. 이처럼 제품을 가공하는 데 필요한 공차 값을 Tolerance라고 하며, Tolerance = Allowable error, 허용 오차라고 합니다. CAE 관련하여 다른 예시를 들어보겠습니다. 가장 기본적인 선형 정적 해석을 수행한다고 합시다. 이 때 역학적으로 계산을 했을 때와 컴퓨터로(수치해석) 계산했을 때의 값이 차이가 납니다. 이때도 허용 오차가 얼마나 있느냐에 따라 안정성이 평가됩니다. 비선형 해석의 결과 프로그램을 돌릴 때 허용 오차를 입력하는 값에 따라 빠르고 덜 정확한지, 오래 걸리고 더 정확한지, 뉴튼-랩슨법과 같은 해석 방법에 따라 다릅니다. 그 결정은 상황에 맞게 선택하는 해석자에 달려있습니다.

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 본 글은 'midasNFX CAE용어해설집'을 참고하고 있으며 공부용 블로그이므로 어떠한 상업적 의도가 없음을 밝힙니다. 또한 CAE에 관심 있는 기계공학과 학생이 개인적으로 공부하며 작성하는 것이므로 정확하지 않을 수 있습니다. 혹여나 내용이 알맞지 않은 부분이 있다면 지적 부탁드립니다.