[CAE 입문용어] 선형해석(Linear Analysis)

선형해석 - midasNFX

 물체의 거동에 영향을 미치는 임의 변수의 크기를 변화시켰을 경우, 만일 변수의 크기에 비례하여 물체의 거동이 변한다면 이 변수와 물체의 거동은 선형적(linear)인 관계에 있다. 이러한 선형성(linearity)을 정의하는 방법에는 크게 수학적인 방법과 물리적인 방법이 있다. 만일 물체의 거동 P가 변수 x와 y에 대해 선형적인 관계에 있다면, 수학적으로 P(ax+by)=aP(x)+bP(y)라는 관계식이 성립하여야 한다. 참고로 여기서 a와 b는 0이 아닌 임의의 상수를 나타낸다.

 

 한편, 이러한 수학적인 관계식은 물리적으로 중첩의 원리(principle of superposition)로 설명된다. 예를 들어 x라는 크기의 힘에 의한 물체의 변형을 P(x) 그리고 y라는 크기의 힘에 의한 물체의 변형을 P(y)라고 가정하자. 그러면, 중첩의 원리는 x+y라는 크기의 힘에 의하여 발생하는 물체의 변형 P(x+y)는 x에 의한 변형 P(x)와 y에 의한 변형 P(y)의 대수적인 합과 같아야 한다는 것이다. 선형적인 거동을 나타내는 자연현상의 해답을 구하는 작업을 선형해석이라고 부른다.

 

 선형해석은 비선형 해석(nonlinear analysis)과 비교하여 풀이 방법이 간단할 뿐만아니라 문제를 푸는데 걸리는 시간도 상대적으로 매우 짧다. 선형과 비선형 문제의 이러한 뚜렷한 차이는 선형 문제는 단 한 번의 계산과정으로 해답을 구할 수 있는 반면, 비선형 문제는 그렇지 못하기 때문이다.

 

 유한요소 해석(finite element analysis)의 경우를 예를 들면, 선형 해석에서는 [K]{u}={F}라는 행렬방정식에서 강성행렬(stiffness matrix) [K]가 물체의 거동 {u}와 무관한 일정한 값이다. 따라서 [K]의 역행렬을 구하여 하중벡터(load vector) {F}에 곱하기만 하면 한 번의 계산으로 해답을 구할 수 있다. 하지만 비선형 해석에 있어서는 [K]가 구하고자 하는 {u}의 값에 따라 변하기 때문에 선형해석처럼 단 한 번의 계산과정으로 그 해답을 구할 수가 없다.